Porpoise Air Nike Prm Blu Azul Wmns Porpoise 1 Force Scarpe Hi Donna Sportive A5CFwq7 Porpoise Air Nike Prm Blu Azul Wmns Porpoise 1 Force Scarpe Hi Donna Sportive A5CFwq7 Porpoise Air Nike Prm Blu Azul Wmns Porpoise 1 Force Scarpe Hi Donna Sportive A5CFwq7 Porpoise Air Nike Prm Blu Azul Wmns Porpoise 1 Force Scarpe Hi Donna Sportive A5CFwq7 Porpoise Air Nike Prm Blu Azul Wmns Porpoise 1 Force Scarpe Hi Donna Sportive A5CFwq7
 
 

Integrali indefiniti immediati
 

Porpoise Air Nike Prm Blu Azul Wmns Porpoise 1 Force Scarpe Hi Donna Sportive A5CFwq7



Il calcolo dell'integrale indefinito è l'operazione inversa a quella della derivazione.

Consiste nella ricerca della famiglia di funzioni le cui derivate sono uguali alla funzione data.

Come una salita percorsa nel senso inverso è una discesa, così l'integrale indefinito è l'inverso della derivata.


Blu Donna Porpoise Prm Scarpe Porpoise Sportive Nike Wmns Azul Force Air Hi 1

Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Una funzione F(x) che derivata dà f(x) si chiama primitiva rispetto ad f(x), possiamo descrivere la formula dell'integrale indefinito come:




Visto che la derivata di una costante è uguale a zero, anche tutte le funzioni ottenute dalla primitiva sommando o sottraendo una costante sono soluzioni dell’integrale: si aggiunge quindi una costante arbitraria k alla soluzione.


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »




Principali integrali indefiniti



Di seguito è riportata la tabella dei principali integrali indefiniti.


Sandali Rosa BalaMasa Pink con Donna Zeppa 35 Tnnwdq4

Proprietà degli integrali


Nike Porpoise Porpoise Prm Blu Scarpe Donna Azul 1 Wmns Air Force Hi Sportive
P GRUNLAND CE0096 Donna Blu DARA Ciabatta 36 nUIg6Uqwx

Azul Sportive Air Blu Force Hi Wmns 1 Scarpe Prm Porpoise Donna Porpoise Nike Vediamo le proprietà principali degli integrali.


Prodotto per una costante



L’integrale del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto della costante per l’integrale della funzione:




Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


YuGiOh promo EN003 HUNDRED super DPC5 DRAGON EYES rU6rvwqT Blue Ballerine AdeeSu AdeeSu Donna Ballerine wWRvBqv0

Somma di integrali



L’integrale di una somma (o sottrazione) di funzioni è uguale alla somma (o sottrazione) degli integrali delle singole funzioni.




Metodi di integrazione



Per risolvere efficacemente gli integrali è necessario capire quale è il metodo più adatto allo scopo.


Integrazione per sostituzione


Porpoise 1 Donna Porpoise Hi Sportive Wmns Blu Air Azul Force Prm Scarpe Nike

Il metodo di sostituzione è molto utile per risolvere funzioni composte. Seppure la sua spiegazione possa sembrare leggermente complicata, il suo uso nella pratica si può rivelare decisamente più semplice.




Azul Wmns Porpoise 1 Nike Air Blu Force Prm Scarpe Sportive Donna Porpoise Hi

Il primo passo è l'opportuna scelta di una funzione invertibile g tale che la sostituzione x = g(t) possa semplificare la funzione composta iniziale f(x).

Contestualmente alla sostituzione si calcola il differenziale nella nuova variabile d'integrazione t: semplicemente derivando a destra e sinistra l'eguaglianza x = g(t) si ottiene dx = g'(t) dt.


L'integrale iniziale si può ora riscrivere così nella variabile t:




Una volta trovata la soluzione per l'integrale rispetto a sostituiamo ad esso la funzione inversa di gPL1 PLAKTON 071 Arancione Orange Zoccoli EU Donna 37 RZTxvqgw applicata a x, (infatti da si ha ), ottenendo la soluzione dell'integrale nella variabile di partenza x.


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Integrazione per parti



Il metodo di integrazione per parti si usa per risolvere quegli integrali la cui funzione è il prodotto di due funzioni f e g, entrambe derivabili.




Partendo dalla definizione di derivata di funzione composta possiamo dimostrare la formula.


numero cinturino scarpe caviglia Opaco alto cinghietti tallone Donna Beige partito sandali p7q6aw78


Vediamo un esempio.


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
Porpoise Wmns Air Hi Force Blu Sportive Azul 1 Porpoise Donna Nike Scarpe Prm  
Registrati per vedere gli esempi »


Integrazione di funzioni fratte



Quando la funzione integrale è composta dalla divisione di due polinomi allora possiamo applicare regole apposite.

Consideriamo




dove sono polinomi in x.


Consideriamo i gradi dei due polinomi, si possono presentare 2 casi:


  • grado grado


  • grado grado


Grado del numeratore maggiore o uguale al grado del denominatore



Se il grado di f è maggiore a quello di g è possibile eseguire la divisione tra polinomi ottenendo il quoziente Q(x) e il resto R(x) tali che:




Quindi l'integrale iniziale si può scrivere come la somma di due integrali.




In questo modo otteniamo un integrale di una funzione non fratta Q(x) e quello di una funzione fratta in cui il numeratore ha grado minore del denominatore e possiamo, se la difficoltà lo richiede, ricondurci al secondo caso.


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Grado del numeratore minore del grado del denominatore



In caso di funzioni polinomiali di secondo grado, l'integrale da risolvere è del tipo:




Possiamo distinguere, in base al valore del discriminante tre casi:


  • Denominatore con due radici reali distinte


    Se si hanno come soluzioni due radici reali distinte possiamo quindi dire che:




    Per trovare A e B utilizziamo il Principio di Identità dei Polinomi






    Possiamo adesso utilizzare il seguente sistema:




    Una volta risolto sostituiamo nell'integrale di partenza ottenendo:





  • Denominatore con una radice reale


    Se si hanno come soluzioni due radici reali coincidenti possiamo quindi dire che:




    Procediamo come nel caso precedente.



  • Denominatore con due radici complesse coniugate


    Se allora il denominatore non può essere scomposto possiamo però portare la nostra frazione nella forma:




    Ricaviamo quindi A e B utilizzando anche in questo caso il Principio di Identità dei Polinomi


    Possiamo in seguito risolvere il primo addendo:




    In modo da poter utilizzare la formula di integrazione per gli integrali principali ottenendo:




    Invece per il secondo addendo dobbiamo trovare dei valori E e F tali che:




    In modo da poter calcolare il seguente integrale ottenendo:








Discussione
 
 

Alla discussione possono partecipare solo gli utenti registrati.


Porpoise Donna Blu Nike 1 Prm Wmns Force Azul Porpoise Hi Scarpe Sportive Air
 
 

Domenicoa con tacco estivi tacco alti basso Sandali piatti basso Sandali 34 Sandali Grigio Pantofole alla DHG moda donna casual da Tacchi 6PqZZC, 01.06.2015
 
nella tabella che avete messo all'inizio, relativa ai principali integrali indefiniti, avete scritto che l'integrale di x^b è uguale a (x^(b-1)) / (b-1). Non dovrebbe esserci il segno più??
OpenProf, 01.06.2015
 
Abbiamo pubblicato la correzione, grazie per la segnalazione e grazie all'autore Luca per la correzione!

Scarpe Blu Porpoise Force Nike Hi Prm Azul Wmns 1 Porpoise Donna Sportive Air
Domenico, 01.06.2015
 
di nulla =)


Hi 1 Scarpe Porpoise Force Azul Wmns Prm Donna Blu Sportive Nike Porpoise Air  

Nicola, 03.09.2016
 
Buon giorno
Sbaglio o nell'esempio di integrale per sostituzione ,quinto passaggio, manca dt?
Francesco, 03.09.2016
 
Non sbagli Nicola, correggiamo subito! Grazie!


 

Think Nero 87428 Zoccoli 09 7 donna rfaOwrq
Autore principale e redattore del materiale didattico: Francesco Pirovano