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Integrali indefiniti immediati
 

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Il calcolo dell'integrale indefinito è l'operazione inversa a quella della derivazione.

Consiste nella ricerca della famiglia di funzioni le cui derivate sono uguali alla funzione data.

Come una salita percorsa nel senso inverso è una discesa, così l'integrale indefinito è l'inverso della derivata.


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Esempio

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Una funzione F(x) che derivata dà f(x) si chiama primitiva rispetto ad f(x), possiamo descrivere la formula dell'integrale indefinito come:




Visto che la derivata di una costante è uguale a zero, anche tutte le funzioni ottenute dalla primitiva sommando o sottraendo una costante sono soluzioni dell’integrale: si aggiunge quindi una costante arbitraria k alla soluzione.


Esempio

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Principali integrali indefiniti



Di seguito è riportata la tabella dei principali integrali indefiniti.


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Proprietà degli integrali


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Donna Ballerine Nero Camoscio SOPHIA SPS18052 WEBSTER Vediamo le proprietà principali degli integrali.


Prodotto per una costante



L’integrale del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto della costante per l’integrale della funzione:




Esempio

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Somma di integrali



L’integrale di una somma (o sottrazione) di funzioni è uguale alla somma (o sottrazione) degli integrali delle singole funzioni.




Metodi di integrazione



Per risolvere efficacemente gli integrali è necessario capire quale è il metodo più adatto allo scopo.


Integrazione per sostituzione


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Il metodo di sostituzione è molto utile per risolvere funzioni composte. Seppure la sua spiegazione possa sembrare leggermente complicata, il suo uso nella pratica si può rivelare decisamente più semplice.




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Il primo passo è l'opportuna scelta di una funzione invertibile g tale che la sostituzione x = g(t) possa semplificare la funzione composta iniziale f(x).

Contestualmente alla sostituzione si calcola il differenziale nella nuova variabile d'integrazione t: semplicemente derivando a destra e sinistra l'eguaglianza x = g(t) si ottiene dx = g'(t) dt.


L'integrale iniziale si può ora riscrivere così nella variabile t:




Una volta trovata la soluzione per l'integrale rispetto a sostituiamo ad esso la funzione inversa di gApricot EU 1TO9 35 Ballerine Sconosciuto Donna Beige MJS03455 aTw1FH applicata a x, (infatti da si ha ), ottenendo la soluzione dell'integrale nella variabile di partenza x.


Esempio

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Integrazione per parti



Il metodo di integrazione per parti si usa per risolvere quegli integrali la cui funzione è il prodotto di due funzioni f e g, entrambe derivabili.




Partendo dalla definizione di derivata di funzione composta possiamo dimostrare la formula.


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Vediamo un esempio.


Esempio

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Integrazione di funzioni fratte



Quando la funzione integrale è composta dalla divisione di due polinomi allora possiamo applicare regole apposite.

Consideriamo




dove sono polinomi in x.


Consideriamo i gradi dei due polinomi, si possono presentare 2 casi:


  • grado grado


  • grado grado


Grado del numeratore maggiore o uguale al grado del denominatore



Se il grado di f è maggiore a quello di g è possibile eseguire la divisione tra polinomi ottenendo il quoziente Q(x) e il resto R(x) tali che:




Quindi l'integrale iniziale si può scrivere come la somma di due integrali.




In questo modo otteniamo un integrale di una funzione non fratta Q(x) e quello di una funzione fratta in cui il numeratore ha grado minore del denominatore e possiamo, se la difficoltà lo richiede, ricondurci al secondo caso.


Esempio

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Grado del numeratore minore del grado del denominatore



In caso di funzioni polinomiali di secondo grado, l'integrale da risolvere è del tipo:




Possiamo distinguere, in base al valore del discriminante tre casi:


  • Denominatore con due radici reali distinte


    Se si hanno come soluzioni due radici reali distinte possiamo quindi dire che:




    Per trovare A e B utilizziamo il Principio di Identità dei Polinomi






    Possiamo adesso utilizzare il seguente sistema:




    Una volta risolto sostituiamo nell'integrale di partenza ottenendo:





  • Denominatore con una radice reale


    Se si hanno come soluzioni due radici reali coincidenti possiamo quindi dire che:




    Procediamo come nel caso precedente.



  • Denominatore con due radici complesse coniugate


    Se allora il denominatore non può essere scomposto possiamo però portare la nostra frazione nella forma:




    Ricaviamo quindi A e B utilizzando anche in questo caso il Principio di Identità dei Polinomi


    Possiamo in seguito risolvere il primo addendo:




    In modo da poter utilizzare la formula di integrazione per gli integrali principali ottenendo:




    Invece per il secondo addendo dobbiamo trovare dei valori E e F tali che:




    In modo da poter calcolare il seguente integrale ottenendo:








Discussione
 
 

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DomenicoDonna Grigio Glick Sage Clarks Ballerine Leather Harvest twUqx4p, 01.06.2015
 
nella tabella che avete messo all'inizio, relativa ai principali integrali indefiniti, avete scritto che l'integrale di x^b è uguale a (x^(b-1)) / (b-1). Non dovrebbe esserci il segno più??
OpenProf, 01.06.2015
 
Abbiamo pubblicato la correzione, grazie per la segnalazione e grazie all'autore Luca per la correzione!

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Domenico, 01.06.2015
 
di nulla =)


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Nicola, 03.09.2016
 
Buon giorno
Sbaglio o nell'esempio di integrale per sostituzione ,quinto passaggio, manca dt?
Francesco, 03.09.2016
 
Non sbagli Nicola, correggiamo subito! Grazie!


 

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Autore principale e redattore del materiale didattico: Francesco Pirovano