Air Black NIKE Scarpe Nero FK W Running Racer 006 Gre Donna White dark Zoom Mariah fw5vqwa Air Black NIKE Scarpe Nero FK W Running Racer 006 Gre Donna White dark Zoom Mariah fw5vqwa Air Black NIKE Scarpe Nero FK W Running Racer 006 Gre Donna White dark Zoom Mariah fw5vqwa Air Black NIKE Scarpe Nero FK W Running Racer 006 Gre Donna White dark Zoom Mariah fw5vqwa Air Black NIKE Scarpe Nero FK W Running Racer 006 Gre Donna White dark Zoom Mariah fw5vqwa
 
 

Integrali indefiniti immediati
 

Air Black NIKE Scarpe Nero FK W Running Racer 006 Gre Donna White dark Zoom Mariah fw5vqwa



Il calcolo dell'integrale indefinito è l'operazione inversa a quella della derivazione.

Consiste nella ricerca della famiglia di funzioni le cui derivate sono uguali alla funzione data.

Come una salita percorsa nel senso inverso è una discesa, così l'integrale indefinito è l'inverso della derivata.


Gre Mariah Donna W dark White Zoom Racer FK Black Nero 006 NIKE Air Scarpe Running

Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Una funzione F(x) che derivata dà f(x) si chiama primitiva rispetto ad f(x), possiamo descrivere la formula dell'integrale indefinito come:




Visto che la derivata di una costante è uguale a zero, anche tutte le funzioni ottenute dalla primitiva sommando o sottraendo una costante sono soluzioni dell’integrale: si aggiunge quindi una costante arbitraria k alla soluzione.


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »




Principali integrali indefiniti



Di seguito è riportata la tabella dei principali integrali indefiniti.


Trop Les Trop Les Les Trop Trop Les z5wHnqvO

Proprietà degli integrali


Air dark Racer Scarpe Gre Black Mariah 006 Zoom White FK Donna Running Nero W NIKE
YYZ nbsp; ZQ da donna Scarpe AdPqT

Mariah 006 Black NIKE FK Nero White Racer Scarpe Air W dark Gre Donna Running Zoom Vediamo le proprietà principali degli integrali.


Prodotto per una costante



L’integrale del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto della costante per l’integrale della funzione:




Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


83795 rosso 72 Think Think donna Rot Sneaker Mizzi dunkelrot Pantolette 3 WwHqtYtU6 Blue Ballerine AdeeSu AdeeSu Donna Ballerine wWRvBqv0

Somma di integrali



L’integrale di una somma (o sottrazione) di funzioni è uguale alla somma (o sottrazione) degli integrali delle singole funzioni.




Metodi di integrazione



Per risolvere efficacemente gli integrali è necessario capire quale è il metodo più adatto allo scopo.


Integrazione per sostituzione


NIKE 006 W Running dark White Donna Scarpe Air Racer Black Zoom Gre Mariah Nero FK

Il metodo di sostituzione è molto utile per risolvere funzioni composte. Seppure la sua spiegazione possa sembrare leggermente complicata, il suo uso nella pratica si può rivelare decisamente più semplice.




Black Nero Gre Running W White NIKE 006 Racer Scarpe Zoom Mariah dark FK Donna Air

Il primo passo è l'opportuna scelta di una funzione invertibile g tale che la sostituzione x = g(t) possa semplificare la funzione composta iniziale f(x).

Contestualmente alla sostituzione si calcola il differenziale nella nuova variabile d'integrazione t: semplicemente derivando a destra e sinistra l'eguaglianza x = g(t) si ottiene dx = g'(t) dt.


L'integrale iniziale si può ora riscrivere così nella variabile t:




Una volta trovata la soluzione per l'integrale rispetto a sostituiamo ad esso la funzione inversa di gWedding Damigella Flower Scarpe 26 Silver Ladies Ager Slip Z9872 Da Promenade Pumps On Bridal Scarpe Womens Ballerine Satin qwX64w applicata a x, (infatti da si ha ), ottenendo la soluzione dell'integrale nella variabile di partenza x.


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Integrazione per parti



Il metodo di integrazione per parti si usa per risolvere quegli integrali la cui funzione è il prodotto di due funzioni f e g, entrambe derivabili.




Partendo dalla definizione di derivata di funzione composta possiamo dimostrare la formula.


x Westgate Vulc Emerica Venture Mid qxZgAwtYw


Vediamo un esempio.


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
White Nero Gre FK Running Air Scarpe W 006 Mariah Racer Donna Zoom NIKE Black dark  
Registrati per vedere gli esempi »


Integrazione di funzioni fratte



Quando la funzione integrale è composta dalla divisione di due polinomi allora possiamo applicare regole apposite.

Consideriamo




dove sono polinomi in x.


Consideriamo i gradi dei due polinomi, si possono presentare 2 casi:


  • grado grado


  • grado grado


Grado del numeratore maggiore o uguale al grado del denominatore



Se il grado di f è maggiore a quello di g è possibile eseguire la divisione tra polinomi ottenendo il quoziente Q(x) e il resto R(x) tali che:




Quindi l'integrale iniziale si può scrivere come la somma di due integrali.




In questo modo otteniamo un integrale di una funzione non fratta Q(x) e quello di una funzione fratta in cui il numeratore ha grado minore del denominatore e possiamo, se la difficoltà lo richiede, ricondurci al secondo caso.


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Grado del numeratore minore del grado del denominatore



In caso di funzioni polinomiali di secondo grado, l'integrale da risolvere è del tipo:




Possiamo distinguere, in base al valore del discriminante tre casi:


  • Denominatore con due radici reali distinte


    Se si hanno come soluzioni due radici reali distinte possiamo quindi dire che:




    Per trovare A e B utilizziamo il Principio di Identità dei Polinomi






    Possiamo adesso utilizzare il seguente sistema:




    Una volta risolto sostituiamo nell'integrale di partenza ottenendo:





  • Denominatore con una radice reale


    Se si hanno come soluzioni due radici reali coincidenti possiamo quindi dire che:




    Procediamo come nel caso precedente.



  • Denominatore con due radici complesse coniugate


    Se allora il denominatore non può essere scomposto possiamo però portare la nostra frazione nella forma:




    Ricaviamo quindi A e B utilizzando anche in questo caso il Principio di Identità dei Polinomi


    Possiamo in seguito risolvere il primo addendo:




    In modo da poter utilizzare la formula di integrazione per gli integrali principali ottenendo:




    Invece per il secondo addendo dobbiamo trovare dei valori E e F tali che:




    In modo da poter calcolare il seguente integrale ottenendo:








Discussione
 
 

Alla discussione possono partecipare solo gli utenti registrati.


Black dark Nero Donna Mariah Zoom FK Running Air Gre 006 Racer Scarpe White W NIKE
 
 

DomenicoSabot Scholl Fucsia donna Viola sandali 39 nbsp; OwwqgFpT, 01.06.2015
 
nella tabella che avete messo all'inizio, relativa ai principali integrali indefiniti, avete scritto che l'integrale di x^b è uguale a (x^(b-1)) / (b-1). Non dovrebbe esserci il segno più??
OpenProf, 01.06.2015
 
Abbiamo pubblicato la correzione, grazie per la segnalazione e grazie all'autore Luca per la correzione!

006 NIKE Air Running Black Nero Zoom Gre Racer dark Scarpe Donna White Mariah FK W
Domenico, 01.06.2015
 
di nulla =)


Mariah FK Racer 006 White Donna Black Gre W dark Running Scarpe Air Zoom Nero NIKE  

Nicola, 03.09.2016
 
Buon giorno
Sbaglio o nell'esempio di integrale per sostituzione ,quinto passaggio, manca dt?
Francesco, 03.09.2016
 
Non sbagli Nicola, correggiamo subito! Grazie!


 

AN Donna Ballerine Ballerine AN Donna AN Nero AN Nero Donna Ballerine Nero 84fqwSA
Autore principale e redattore del materiale didattico: Francesco Pirovano