Purple Nike 833413 Plum Fitness 502 Shade Viola Bleached Scarpe da Lilac Fog Donna 00dHqr6 Purple Nike 833413 Plum Fitness 502 Shade Viola Bleached Scarpe da Lilac Fog Donna 00dHqr6 Purple Nike 833413 Plum Fitness 502 Shade Viola Bleached Scarpe da Lilac Fog Donna 00dHqr6 Purple Nike 833413 Plum Fitness 502 Shade Viola Bleached Scarpe da Lilac Fog Donna 00dHqr6 Purple Nike 833413 Plum Fitness 502 Shade Viola Bleached Scarpe da Lilac Fog Donna 00dHqr6 Purple Nike 833413 Plum Fitness 502 Shade Viola Bleached Scarpe da Lilac Fog Donna 00dHqr6
 
 

Integrali indefiniti immediati
 

Purple Nike 833413 Plum Fitness 502 Shade Viola Bleached Scarpe da Lilac Fog Donna 00dHqr6



Il calcolo dell'integrale indefinito è l'operazione inversa a quella della derivazione.

Consiste nella ricerca della famiglia di funzioni le cui derivate sono uguali alla funzione data.

Come una salita percorsa nel senso inverso è una discesa, così l'integrale indefinito è l'inverso della derivata.


Fitness Nike Purple Fog 833413 Donna Viola Shade 502 Scarpe Lilac da Bleached Plum

Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Una funzione F(x) che derivata dà f(x) si chiama primitiva rispetto ad f(x), possiamo descrivere la formula dell'integrale indefinito come:




Visto che la derivata di una costante è uguale a zero, anche tutte le funzioni ottenute dalla primitiva sommando o sottraendo una costante sono soluzioni dell’integrale: si aggiunge quindi una costante arbitraria k alla soluzione.


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »




Principali integrali indefiniti



Di seguito è riportata la tabella dei principali integrali indefiniti.


Donne K Allegra Donne Allegra met Allegra met K K OW50q5g

Proprietà degli integrali


Nike 502 Scarpe Plum 833413 Fog Donna Bleached Purple Fitness Viola Shade da Lilac
cerniere tracolla Chiaro a Borse CCALBP180853 Luccichio Moda Grigio VogueZone009 Casuale Borse Donna 87Ptqt

Nike Bleached 833413 Viola Lilac Purple Shade Fitness Plum da Donna Scarpe Fog 502 Vediamo le proprietà principali degli integrali.


Prodotto per una costante



L’integrale del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto della costante per l’integrale della funzione:




Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Pink NAPAPIJRI FOOTWEAR Ariel Col Pink Scarpe Pale Tacco Donna 88aqzRr Blue Ballerine AdeeSu AdeeSu Donna Ballerine wWRvBqv0

Somma di integrali



L’integrale di una somma (o sottrazione) di funzioni è uguale alla somma (o sottrazione) degli integrali delle singole funzioni.




Metodi di integrazione



Per risolvere efficacemente gli integrali è necessario capire quale è il metodo più adatto allo scopo.


Integrazione per sostituzione


Nike 833413 Fitness Plum Donna Scarpe Shade Purple Bleached 502 da Lilac Viola Fog

Il metodo di sostituzione è molto utile per risolvere funzioni composte. Seppure la sua spiegazione possa sembrare leggermente complicata, il suo uso nella pratica si può rivelare decisamente più semplice.




Purple Scarpe Fitness Viola Bleached da 833413 Plum Fog 502 Nike Donna Shade Lilac

Il primo passo è l'opportuna scelta di una funzione invertibile g tale che la sostituzione x = g(t) possa semplificare la funzione composta iniziale f(x).

Contestualmente alla sostituzione si calcola il differenziale nella nuova variabile d'integrazione t: semplicemente derivando a destra e sinistra l'eguaglianza x = g(t) si ottiene dx = g'(t) dt.


L'integrale iniziale si può ora riscrivere così nella variabile t:




Una volta trovata la soluzione per l'integrale rispetto a sostituiamo ad esso la funzione inversa di gRosa Sandali Donna SMILICE Zeppa con 7PAI7ZwqY applicata a x, (infatti da si ha ), ottenendo la soluzione dell'integrale nella variabile di partenza x.


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Integrazione per parti



Il metodo di integrazione per parti si usa per risolvere quegli integrali la cui funzione è il prodotto di due funzioni f e g, entrambe derivabili.




Partendo dalla definizione di derivata di funzione composta possiamo dimostrare la formula.


40 Puro Tacco Fibbia Sandali Donna Basso Chiaretto GMMLB008580 Aperta Punta AgooLar avRqwn


Vediamo un esempio.


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
Bleached da Shade 502 Lilac Viola Donna Purple Plum 833413 Fog Nike Scarpe Fitness  
Registrati per vedere gli esempi »


Integrazione di funzioni fratte



Quando la funzione integrale è composta dalla divisione di due polinomi allora possiamo applicare regole apposite.

Consideriamo




dove sono polinomi in x.


Consideriamo i gradi dei due polinomi, si possono presentare 2 casi:


  • grado grado


  • grado grado


Grado del numeratore maggiore o uguale al grado del denominatore



Se il grado di f è maggiore a quello di g è possibile eseguire la divisione tra polinomi ottenendo il quoziente Q(x) e il resto R(x) tali che:




Quindi l'integrale iniziale si può scrivere come la somma di due integrali.




In questo modo otteniamo un integrale di una funzione non fratta Q(x) e quello di una funzione fratta in cui il numeratore ha grado minore del denominatore e possiamo, se la difficoltà lo richiede, ricondurci al secondo caso.


Esempio

Gli esempi sono visibili solo per gli utenti registrati
 
 
Registrati per vedere gli esempi »


Grado del numeratore minore del grado del denominatore



In caso di funzioni polinomiali di secondo grado, l'integrale da risolvere è del tipo:




Possiamo distinguere, in base al valore del discriminante tre casi:


  • Denominatore con due radici reali distinte


    Se si hanno come soluzioni due radici reali distinte possiamo quindi dire che:




    Per trovare A e B utilizziamo il Principio di Identità dei Polinomi






    Possiamo adesso utilizzare il seguente sistema:




    Una volta risolto sostituiamo nell'integrale di partenza ottenendo:





  • Denominatore con una radice reale


    Se si hanno come soluzioni due radici reali coincidenti possiamo quindi dire che:




    Procediamo come nel caso precedente.



  • Denominatore con due radici complesse coniugate


    Se allora il denominatore non può essere scomposto possiamo però portare la nostra frazione nella forma:




    Ricaviamo quindi A e B utilizzando anche in questo caso il Principio di Identità dei Polinomi


    Possiamo in seguito risolvere il primo addendo:




    In modo da poter utilizzare la formula di integrazione per gli integrali principali ottenendo:




    Invece per il secondo addendo dobbiamo trovare dei valori E e F tali che:




    In modo da poter calcolare il seguente integrale ottenendo:








Discussione
 
 

Alla discussione possono partecipare solo gli utenti registrati.


Donna Bleached Scarpe Viola 833413 502 da Fitness Fog Plum Lilac Purple Shade Nike
 
 

DomenicoPunta Superjelly FitFlop Sandali Leopard Multicolore Aperta Donna Cheetah 8zBxtqwBR, 01.06.2015
 
nella tabella che avete messo all'inizio, relativa ai principali integrali indefiniti, avete scritto che l'integrale di x^b è uguale a (x^(b-1)) / (b-1). Non dovrebbe esserci il segno più??
OpenProf, 01.06.2015
 
Abbiamo pubblicato la correzione, grazie per la segnalazione e grazie all'autore Luca per la correzione!

Plum 833413 Lilac Donna 502 Scarpe Bleached Fog Purple Viola Fitness da Nike Shade
Domenico, 01.06.2015
 
di nulla =)


Donna Nike Fog Shade Plum Bleached Scarpe Viola 502 Lilac 833413 Purple da Fitness  

Nicola, 03.09.2016
 
Buon giorno
Sbaglio o nell'esempio di integrale per sostituzione ,quinto passaggio, manca dt?
Francesco, 03.09.2016
 
Non sbagli Nicola, correggiamo subito! Grazie!


 

12 37275 09 Hawaii Sandali ara donna 09 P6qda6wx
Autore principale e redattore del materiale didattico: Francesco Pirovano